A razão como um sistema lógico fechado
Kurt Gödel demonstrou um teorema que revolucionou a matemática no século XX (e também influenciou muito a filosofia), conhecido como o Teorema da Incompletude de Gödel. Diz que todo sistema lógico consistente de premissas (axiomas) e suas deduções conterá verdades que não podem ser provadas dentro do próprio sistema. O teorema em si é bastante simples, e pode ser compreendido se prestarmos atenção a estes seis passos:1. Imagine que você encontra uma máquina chamada Máquina Universal - MU, capaz de responder corretamente a *qualquer* pergunta que lhe seja apresentada (ela traz em seu programa alguns axiomas principais e uma série de deduções, suficientes para responder às perguntas).
2. Você poderia então, apresentar a seguinte afirmativa à MU: "MU nunca dirá que esta afirmativa é verdadeira". Chamemos essa afirmativa de G, em homenagem à Gödel.
3. Então você pergunta à MU (que responde corretamente a tudo): "Cara MU, G é verdadeira?"
4. Observe que MU entrará em contradição se afirmar que G é verdadeira, pois isso automaticamente tornaria G falsa.
5. Logo, só resta a MU dizer que G é falsa. Mas, claro, sabemos que G é verdadeira.
6. Conclusão: MU não é universal, pois nós sabemos algo que ela não poderia expressar. Em outras palavras, MU não pode responder corretamente a todas as perguntas.
Pense um pouco sobre isso. O teorema cresce em nossas mentes...
Embora Gödel tenha-o demonstrado numa linguagem perfeitamente matemática, o que o teorema parece nos dizer é que a razão jamais alcançará a verdade completa - sempre haverá novas verdades além do nosso alcance.
Gödel demonstra que existem verdades que, embora já sejam verdadeiras dentro de um dado sistema lógico, não poderiam ser provadas, a não ser com a adição de novos termos, novas premissas. Mas aí o sistema como um todo aumenta, e novas "verdades improváveis" surgem, ad infinitum.
A elegância matemática da coisa tem uma grande beleza, mas, mais que isso, tem uma atração algo mística - somos imediatamente tentados a aplicar o teorema a diferentes circunstâncias de nossa vida cognitiva. Chegou-se a cogitar que ele demonstraria a possibilidade da existência de Deus.
Com mais cautela, podemos pensar se a razão humana - entre outras coisas, nossos conhecimentos acerca do universo e nossa capacidade de associá-los logicamente - não estariam também sujeitos ao teorema.
Mas isso leva a uma dúvida anterior, sobre a origem da matemática. Seria ela uma criação ou uma descoberta humana? Estaria já na natureza, na estrutura do universo, podendo ser descoberta em qualquer ponto do espaço onde surgissem criaturas inteligentes o suficiente? Mas isso, por sua vez, implica toda uma lógica sobre uma suposta irrelatividade da inteligência, elevando o ser humano numa direção senão divina, ao menos única, e certamente superior - pois temos uma habilidade a mais, a capacidade de descobrir a matemática.
A alternativa: seria a matemática uma invenção? Uma mera ferramenta que nos ajuda a resolver problemas que nós mesmos criamos? Acho esta hipótese improvável, porque mesmo outras "invenções" humanas - o fogo, a roda, o pára-raios - não passam da descoberta de um fenômeno existente, ou que já pre-existia nas leis da física.
Se a matemática é uma invenção humana, o teorema de Gödel é apenas mais uma descoberta dentro desse "brinquedo sofisticado", o que pode ser muito para os matemáticos, mas nem tanto para eu que escrevo e para você que me lê, meros mortais. Por outro lado, se a matemática for uma descrição natural do universo e tudo que o compõe - inclusive nós mesmos - então estamos diante de um curioso paradoxo. Ao mesmo tempo em que podemos ampliar indefinidamente nossos conhecimentos sobre o universo, nossa ciência e nossas técnicas, sempre haverá verdades que jamais conheceremos, não apenas por uma incapacidade tecnológica ou por falta de tempo para descobrir tudo, mas por uma limitação da própria lógica.
Mas voltemos à razão. De uma forma ou de outra, ela é um sistema fechado, lingüístico, de associações, valores e verdades relativas. O próximo problema é - há alguma verdade absoluta na linguagem humana?
Ou há apenas verdades relativas, verdadeiras apenas a partir das premissas que a originaram?
Em outras palavras, existe alguma premissa absoluta?
Descartes foi uma das pessoas que pensou sobre este problema, e concluiu que havia, sim, uma única premissa (ou pelo menos a que ficou famosa e caracterizou tudo o que começamos então a chamar de pensamento cartesiano):
- Penso, logo existo - teria dito o filósofo.
Mas o que dizer da sociedade humana, onde todos percebem que a morte é o fato derradeiro, que apenas um grande Sol faz companhia à Terra desde o primórdio dos tempos, e que o próprio tempo só anda para a frente (ao menos assim sempre o percebemos)?
Da observação da natureza vem a impressão de que existe apenas uma realidade, comum a todos nós. Ou, no mínimo, uma realidade principal, que une e justifica palavras como humanidade, Terra, realidade, mundo, estar acordado, etc. Então por que algumas pessoas insistem em que não existem premissas, ou verdades, absolutas? Por que mesmo Descartes teria aceito tão pouco?
Como diria Paul McCartney: I don't know!
E como diria Jimi Hendrix: Who knows?
Será que a existência de verdades improváveis, mas nem por isso menos verdadeiras, abre um espaço para a fé no interior do reino da razão?
Talvez não, pois um crente não tem como discernir entre a verdade oculta e a falsidade oculta. Além do mais, suponho que existam bem mais falsidades do que verdades ocultas, como parece óbvio. Entretanto, a mente humana parece querer acreditar. Mas isso já é outra conversa...
posted by Rodrigo @ 11/17/2006 03:30:00 PM
4 Comments:
Sobre se matemática é criação ou descoberta:
Sempre acho que é descobreta pelo seguinte motivo, bastante simples e, para mim, óbvio:
se ela fosse criada pelo homem, poderia ser criada de modo diferente?
Por exemplo, e um exemplo só:
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus. Um matemático, ou quem quer que seja, poderia ter inventado um valor diferente (sem alterar o que é a unidade grau, claro)?
...
É, mais um argumento. Mas talvez essa seja uma matemática elementar já existente. Talvez algumas partes sejam invenções, talvez o cálculo diferencial, sei lá. Mas acho difícil.
Mas... e se o plano for uma abstração nossa? Talvez a geometria dos planos (como o triângulo) contenha essa matemática descoberta, mas outras geometrias conterão outras. Ainda que seja descoberta, pode ser uma descoberta de uma porção ínfima da realidade. Um "triângulo" entre BH, Londres e Moçambique não soma 180 graus, por exemplo.
Ah, sei lá.
Alguns comentários...
1) Incrível como seus textos ficaram mais claros depois que a gente conversou... viagem demais
2) Por mais que a razão não alcance a verdade completa, sabemos quando chegamos em um paradoxo, como é o caso do Gödel. Será que, por chegarmos em paradoxos, podemos generalizar que a razão é incompleta em outras partes? Não estou muito certo.
3) Pra mim, a matemática é criação demais! Muito criação! É apenas uma ferramenta que criamos para entender o nosso universo que, sabe-se lá porquê, comporta-se de maneira lógica. A matemática (mesmos nos outros animais) é um artifício evolutivo do cérebro que foi bem sucedido por permitir entender melhor o mundo e gerar previsões.
4) (3) acima, entretanto, não quer dizer que o universo se comporte de maneira intrinsecamente lógica. Só quer dizer que conseguimos interpretá-lo bem dessa forma. Vai lá pros mésons e gluons pra ver se faz sentido lá aquela merda. É meio anti-intuitivo. Mas vivemos num mundo de escalas métricas, não angstrônicas ou coisa do gênero.
5) Premissa absoluta? Só se for o instinto sexual... essa, sem dúvida, é uma premissa absoluta: "preciso fazer sexo", está incrustrado na nossa cabeça muito fortemente.
6) As pessoas que não aceitam a existência de premissas é porque não entederam nada de nada. Não há como não aceitar isso, estou convicto...
7) Entendo que a existência de improbabilidades abre um espaço para a fé, pq as improbabilidades parecem milares ou coisa do gênero e nós tendemos a fazer sempre correlações entre causa-e-efeito, coisa tbm de como fomos moldados pela seleção natural para nos darmos bem. Mas isso abre um espaço pra fé, não entendo pq seria uma "fé no interior da razão".
8) O crente, segundo seus próprios argumentos, distingue a verdade oculta da falsidade oculta, a gente é que não concorda com o que ele acha.
9) A mente humana parece querer acreditar mesmo...
1) Isso deve significar que preciso ser mais claro.
2) Gödel não generalizou - ele *provou* por A+B que todo sistema lógico formal (com isso acho que a razão também) é incompleto.
3) Acho que a matemática tem vários ramos, mas que a aritmética é universal.
5) Talvez não na de um eunuco. :P
6) Quem não aceita premissas tem a "não aceitação de premissas" como premissa número 1 :) Quis dizer que há pessoas que não aceitam a existência (possível) de uma única realidade, de alguma verdade - premissa - absoluta.
7) Então tenho a impressão que vc não entendeu nada. Não é a improbabilidade que abriu espaço, foi a prova da existência de verdades impossíveis de serem provadas, e mesmo assim verdadeiras.
8) Crentes não têm argumentos, têm crenças. Quem tem argumentos é a gente. E, realmente, distinguem unicórnios cor-de-rosa dos verdes, e isso faz muito bem pra eles, talvez.
[]s
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